Series y sucesiones

lim_{n \to \infin} \ a_n =\pm \infin \ \ \ \ \ \ la \ serie \ diverge\   \\  \phantom{1}  \\  lim_{n \to \infin} \ a_n = S\ \ \ \ \ \ la \ serie \ converge \ a \ S \\  \phantom{1}  \\ si \ la \  secuencia \ es \ oscilante \ (no\ tiene \ limite) \ la \ secuencia  \ diverge

Si \ la \ serie \ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n\ converge \ implica \ que \ \ lim_{n \to \infin} \ a_n = 0, \\  \phantom{1}  \\ por \ lo \ tanto \ si \ lim_{n \to \infin} \ a_n \ne 0 \ la \ serie \ diverge

Son \ las \ series \ que \ se \ pueden \ escribir \ de \ la \ forma \\  \phantom{1}  \\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n-a_{n+1} \\  \phantom{1}  \\ y \ converge \ a \ L \ \ si \ lim_{n \to \infin} \ a_n = L

Son \ las \ series \ que \ se \ pueden \ escribir \ de \ la \ forma \\  \phantom{1}  \\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin \frac {1}{n^{\ p}} \\  \phantom{1}  \\  \ converge \ si \ p > 1\ \ \ , diverge  \ si \  p \leq 1

\ Debe \ cumplir \ con \ las \ siguientes \ condiciones:  \\  \phantom{1}  \\  \ la \ funcion \ debe \ ser \ decreciente, \ positiva\ y \ continua  \\  \phantom{1}  \\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin f_n = \int_{1}^{\infin} f(x) \ dx \\  \phantom{1}  \\ convergen \ o \ divergen \ de \ forma \ simultánea 

\displaystyle\sum_{n=0}^\infin r^n =\frac {1}{1-r}

Si \ se \ cumple \ que \  0\leq a_n \leq b_n \\  \phantom{1}  \\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin b_n \ converge, \ \ entonces \displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n \ \ converge \\  \phantom{1}  \\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n \ diverge, \ \ entonces \displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n \ \ diverge

Si \ se \ cumple \ que \ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin b_n \ \ y\  \displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n \ son \ series \ de \ términos \ positivos  \\  \phantom{1}  \\ Si \ lim_{n \to \infin} \ \frac {a_n}{b_n} = C> 0, \ \ ambas \ series \ convergen \ o \ divergen \\  \phantom{1}  \\ Si \ lim_{n \to \infin} \ \frac {a_n}{b_n} = 0 \ \ y \ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin b_n \ converge, \ \ entonces \displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n \ \ converge \\  \phantom{1}  \\ Si \ lim_{n \to \infin} \ \frac {a_n}{b_n} = \infin \ \ y \ \displaystyle\sum_{n=1}^\infin b_n \ diverge, \ \ entonces \displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n \ \ diverge

lim_{n \to \infin}  \mid\frac {a_{n+1}}{a_n} \mid  \ = L \ < 1 \  \ \ es \ absolutamente \ convergente \\  \phantom{1}  \\ lim_{n \to \infin}  \mid\frac {a_{n+1}}{a_n} \mid  \ = L \ > 1 \ \ ó  \ \ L= \infin \ \ \ la \ serie \ es \ divergente \\  \phantom{1}  \\ lim_{n \to \infin}  \mid\frac {a_{n+1}}{a_n} \mid  \ = L \ = 1 \  \ \ el \ criterio \ no \ es \ concluyente 

Converge \ si \ se \ cumple \ los \ siguientes \ criterios: \\  \phantom{1}  \\  - Se \ cumple \ que \ \ a_n \geq 0 \\  \phantom{1}  \\  - Se \ cumple \ que \ lim_{n \to \infin} a_n=0 \\  \phantom{1}  \\  - Se \ cumple \ que \ a_n \ \geq \ a_{n+1} \ es \ decir, \ es \ decreciente

Se \ aplica \ \  \  lim_{n \to \infin}  \mid\frac {a_{n+1}}{a_n} \mid  \ = L \\  \phantom{1}  \\  \\  \phantom{1}  \\  Si \  el \  radio\  R= 0 \ \  la \  serie \  converge \  solo \  para \  x_0 \\  \phantom{1}  \\  Si \  el \  radio\  R= \infin\ \  la \  serie \  converge \ para \  cualquier \  valor \ de \ x

\frac {1}{1-x} \ =\displaystyle\sum_{n=0}^\infin x^n \\  \phantom{1}  \\ e^x \ =\displaystyle\sum_{n=0}^\infin \frac {x^n}{n!} \\  \phantom{1}  \\ sen(x) \ =\displaystyle\sum_{n=0}^\infin (-1)^{n} \frac {x^{2n+1}}{2n+1} \\  \phantom{1}  \\ cos(x) \ =\displaystyle\sum_{n=0}^\infin (-1)^{n} \frac {x^{2n}}{2n} \\  \phantom{1}  \\ ln(1+x) \ =\displaystyle\sum_{n=0}^\infin (-1)^{n+1} \frac {x^n}{n}