Producto de los Vectores Unitarios
\widehat{i}\times \widehat{i}=\widehat{j}\times \widehat{j}=\widehat{k}\times \widehat{k}=0\widehat{i}\times \widehat{j}=-\widehat{j}\times \widehat{i}=\widehat{k}\widehat{j}\times \widehat{k}=-\widehat{k}\times \widehat{j}=\widehat{i}\widehat{k}\times \widehat{i}=-\widehat{i}\times \widehat{k}=\widehat{j}\widehat{i}\times \widehat{i}=\widehat{j}\times \widehat{j}=\widehat{k}\times \widehat{k}=1Derivada parcial explicita
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-F_x}{F_z} , \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-F_y}{F_z}Divergencia
\ se \ define \ como \ el \ operador \ \triangledown\cdot F= \frac{\partial F}{\partial x} +\frac{\partial F}{\partial y} +\frac{\partial F}{\partial z} Tiene una importante interpretación física ya que si la divergencia es positiva el liquido o gas se expandirá y si es negativa se contraerá.
Teorema de Green
\oint P dx \ +Q dy \ =\iint\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \ dARotacional
Operador que muestra la tendencia de un campo de rotar alrededor de un punto, también se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.
tiene las siguientes caracteristicas:
-\ Si \ F(x,y,z) \ es \ un \ campo \ vectorial \ conservativo\ entonces \ rot \ (F) \ = 0
-\ Si \ el \ campo \ vectorial \ F(x,y,z) \ es \ una \ función \ definida \ sobre \ todo \ R^3 \ cuyas \ componentes\newline tienen \ \ derivadas \ parciales \ continuas \ y \ el \ Rot (F) = 0, \ entonces \ F \ es \ un \ campo \ vectorial \ conservativo.
- \ Si \ el \ campo \ escalar \ f(x,y,z) \ tiene \ derivadas \ parciales \ continuas \ de \ segundo \ orden, \newline entonces \ el \ Rot (f) =0
Teorema de Gauss/ Divergencia
Sea \ E \ una \ región \ sólida \ simple \ y \ S \ la\ superficie\ frontera\ de\ E, dada \ con \ orientación\ positiva\ (hacia\ afuera).\newline \ Sea \ F\ un \ campo\ vectorial\ cuyas \ funciones \ componentes \ tienen \ derivadas \ parciales \ continuas\newline \ en\ una \ región \ abierta \ que \ contiene \ E. \ Entonces:
\iint F\cdot\ dS=\iiint div(F)\cdot\ dV
Teorema de Stokes
Hessiano de dos variables
\begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy} \\
f_{xy} & f_{yy}
\end{bmatrix}
\\ \phantom{1}
\\ \phantom{1}
a) \ si \ D>0 \ se \ verifica \ si \ f_{xx}>0 \ entonces \ la \ función \ tiene \ un \ MÍNIMO
\\ \phantom{1}
si \ f_{xx}<0 \ la \ función \ tiene \ un \ MÁXIMO
\\ \phantom{1}
\\ \phantom{1}
b) \ si \ D<0 \ la \ función \ tiene \ un \ punto \ de \ silla
\\ \phantom{1}
\\ \phantom{1}
b) \ si \ D=0 \ el \ criterio \ no \ es \ concluyente Hessiano de tres variables
\begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\
f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\
f_{zx} & f_{zy} & f_{zz}
\end{bmatrix}
\\ \phantom{1}
\\ \phantom{1}
a) \ Si \ todos \ los \ determinantes \ tienen \ signo \ positivo ,\ entonces \ la \ función \ tiene \ un \ MÍNIMO
\\ \phantom{1}
\\ \phantom{1}
b) \ Si \ los \ determinantes \ tienen \ signo \ alterno \ (comenzando \ con
\ negativo \ ),\ entonces \ la \ función \ tiene \ un \ MÁXIMO
\\ \phantom{1}
\\ \phantom{1}
c) \ Si \ no \ se \ cumple \ lo \ anterior \ el \ criterio
\ no \ es \ concluyente \